Discusión:Regla de l'Hôpital

He modificado la demostración porque a mi tampoco me parecía adecuada. --Mariano.mateos (discusión) 11:12 31 oct 2014 (UTC)

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La demostración no me parece adecuada, no tiene porque existir un F(a)=g(a) = 0, me parece una demostración arbitraria para un caso en particular.

Me parece que hay al menos dos pequeñas incorrecciones que pueden inducir a error.

a) La regla es válida también para indeterminaciones inf/inf. Es cierto que en un principio la regla sólo es válida para casos 0/0, pero como corolario se demuestra su extensión a casos inf/inf (usando eso sí en la demostración la doble inversión de los cocientes).

b) El caso propuesto como ejemplo de transformación por doble inversión (x^4/x), es, primero innecesario por lo comentado más arriba, y segundo no conduce a nada, pues al derivar la forma doblemente invertida (x^-1/x^-4) produce -1x^-2 / -2x^-5, que lógicamente lleva a una indeterminación 0/0... pero si seguimos derivando proseguimos hasta el infinito en una cadena de derivaciones que todas producen indeterminaciones 0/0.

Un saludo.

En el último apartado, "Indeterminaciones no cocientes" se podría decir que se aplica la regla de los "conjugados"

Addition to the article "Regla de l'Hopital"

$~t\vdash \quad \mathrm {f} :\mathbb {X} _{\mathrm {f} }\mapsto \mathbb {Y} _{\mathrm {f} }\ \ \land \ \ \mathbb {X} _{\mathrm {f} }\times \mathbb {Y} _{\mathrm {f} }\subseteq \mathbb {R} ^{2}\quad \land \quad \mathrm {g} :\mathbb {X} _{\mathrm {g} }\mapsto \mathbb {Y} _{\mathrm {g} }\ \ \land \ \ \mathbb {X} _{\mathrm {g} }\times \mathbb {Y} _{\mathrm {g} }\subseteq \mathbb {R} ^{2}\quad \land \quad a\in \mathbb {X} _{\mathrm {f} }\ \cap \ \mathbb {X} _{\mathrm {g} }\quad \land$

$~\lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}g(x)\quad \land \quad \{\lim _{x\to a}f(x),\ \ \lim _{x\to a}g(x)\}\ \subseteq \ \{\{-\infty \},\ \{0\},\ \{\infty \}\}\quad \land$

$~\exists _{\delta \ \in \ (0,\infty )}\ \forall _{x\ \in \ \mathbb {X} _{\mathrm {f} }\ \cap \ \mathbb {X} _{\mathrm {g} }\ \land \ 0\ <\ |x-a|\ <\ \delta }\ (\ f'(x)\in \mathbb {R} \ \ \land \ \ g'(x)\in \mathbb {R} \setminus \{0\}\ )\quad \to$

$~(\ \exists _{L\ \in \ \mathbb {R} }\ (\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L)\quad \to \quad \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\ )$

Notes

$~\mathrm {f} :\mathbb {X} _{\mathrm {f} }\mapsto \mathbb {Y} _{\mathrm {f} }\quad \Leftrightarrow \quad \mathrm {f} =\{\langle x,y\rangle |\quad \langle x,y\rangle \in \mathbb {X} _{\mathrm {f} }\times \mathbb {Y} _{\mathrm {f} }\quad \land \quad y=f(x)\ \}$

$~\vdash \quad \mathbb {X} _{\mathrm {f} }\times \mathbb {Y} _{\mathrm {f} }=\{\langle x,y\rangle |\quad x\in \mathbb {X} _{\mathrm {f} }\quad \land \quad y\in \mathbb {Y} _{\mathrm {f} }\ \}$

$~\mathbb {X} _{\mathrm {f} }\times \mathbb {Y} _{\mathrm {f} }\subseteq \mathbb {R} ^{2}\quad \Leftrightarrow \quad \forall x\forall y\ (\ \langle x,y\rangle \in \mathbb {X} _{\mathrm {f} }\times \mathbb {Y} _{\mathrm {f} }\ \to \ \langle x,y\rangle \in \mathbb {R} ^{2}\ )$

$~\mathrm {g} :\mathbb {X} _{\mathrm {g} }\mapsto \mathbb {Y} _{\mathrm {g} }\quad \Leftrightarrow \quad \mathrm {g} =\{\langle x,y\rangle |\quad \langle x,y\rangle \in \mathbb {X} _{\mathrm {g} }\times \mathbb {Y} _{\mathrm {g} }\quad \land \quad y=g(x)\ \}$

$~\vdash \quad \mathbb {X} _{\mathrm {g} }\times \mathbb {Y} _{\mathrm {g} }=\{\langle x,y\rangle |\quad x\in \mathbb {X} _{\mathrm {g} }\quad \land \quad y\in \mathbb {Y} _{\mathrm {g} }\ \}$

$~\mathbb {X} _{\mathrm {g} }\times \mathbb {Y} _{\mathrm {g} }\subseteq \mathbb {R} ^{2}\quad \Leftrightarrow \quad \forall x\forall y\ (\ \langle x,y\rangle \in \mathbb {X} _{\mathrm {g} }\times \mathbb {Y} _{\mathrm {g} }\ \to \ \langle x,y\rangle \in \mathbb {R} ^{2}\ )$

$~a\in \mathbb {X} _{\mathrm {f} }\cap \mathbb {X} _{\mathrm {g} }\quad \Leftrightarrow \quad a\in \mathbb {X} _{\mathrm {f} }\ \ \land \ \ a\in \mathbb {X} _{\mathrm {g} }$

$~\vdash \quad \mathbb {X} _{\mathrm {f} }\cap \mathbb {X} _{\mathrm {g} }=\{x|\quad x\in \mathbb {X} _{\mathrm {f} }\quad \land \quad x\in \mathbb {X} _{\mathrm {g} }\ \}$

$~\lim _{x\to a}f(x)=-\infty \quad \Leftrightarrow \quad \forall _{m\ \in \ (-\infty ,\ 0)}\ \exists _{\delta \ \in \ (0,\ \infty )}\ \forall _{x\ \in \ \mathbb {X} _{\mathrm {f} }}\ (0<|x-a|<\delta \ \to \ f(x)<m)$

$~\lim _{x\to a}g(x)=-\infty \quad \Leftrightarrow \quad \forall _{m\ \in \ (-\infty ,\ 0)}\ \exists _{\delta \ \in \ (0,\ \infty )}\ \forall _{x\ \in \ \mathbb {X} _{\mathrm {g} }}\ (0<|x-a|<\delta \ \to \ g(x)<m)$

$~\lim _{x\to a}f(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad \forall _{\varepsilon \ \in \ (0,\ \infty )}\ \exists _{\delta \ \in \ (0,\ \infty )}\ \forall _{x\ \in \ \mathbb {X} _{\mathrm {f} }}\ (0<|x-a|<\delta \ \to \ |f(x)|<\varepsilon )$

$~\lim _{x\to a}g(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad \forall _{\varepsilon \ \in \ (0,\ \infty )}\ \exists _{\delta \ \in \ (0,\ \infty )}\ \forall _{x\ \in \ \mathbb {X} _{\mathrm {g} }}\ (0<|x-a|<\delta \ \to \ |g(x)|<\varepsilon )$

$~\lim _{x\to a}f(x)=\infty \quad \Leftrightarrow \quad \forall _{M\ \in \ (0,\ \infty )}\ \exists _{\delta \ \in \ (0,\ \infty )}\ \forall _{x\ \in \ \mathbb {X} _{\mathrm {f} }}\ (0<|x-a|<\delta \ \to \ f(x)>M)$

$~\lim _{x\to a}g(x)=\infty \quad \Leftrightarrow \quad \forall _{M\ \in \ (0,\ \infty )}\ \exists _{\delta \ \in \ (0,\ \infty )}\ \forall _{x\ \in \ \mathbb {X} _{\mathrm {g} }}\ (0<|x-a|<\delta \ \to \ g(x)>M)$

$~\vdash \quad f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

$~f'(x)\in \mathbb {R} \quad \Leftrightarrow \quad \exists y\ (\ y\in \mathbb {R} \ \ \land \ \ y=f'(x))\quad \Leftrightarrow \quad \exists _{y\ \in \ \mathbb {R} }\ (y=f'(x))$

$~\vdash \quad g'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}$

$~g'(x)\in \mathbb {R} \setminus \{0\}\quad \Leftrightarrow \quad g'(x)\in \mathbb {R} \ \ \land \ \ g'(x)\notin \{0\}\quad \Leftrightarrow \quad g'(x)\in \mathbb {R} \ \ \land \ \ g'(x)\neq 0$

$~\exists _{L\ \in \ \mathbb {R} }\ (\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L)\quad \Leftrightarrow \quad \exists L\ (\ L\in \mathbb {R} \ \ \land \ \ \lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L\ )\quad \Leftrightarrow \quad \lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\in \mathbb {R}$

Informe de error

En el recuadro que enuncia la ley de l'hopital dice : "Si f y g son derivables en a y g'(a)≠0, entonces existe el límite de f/g en a y es igual a f'(a)/g'(a)" Lo cual esta mal ya que pone la existencia del limite como una consecuencia de las hipotesis, cuando realmente es parte de la hipótesis del teorema. El teorema sería asi: "Sean f y g funciones definidas y derivables en un intervalo (a,b). Sea xº perteneciente a (a,b), si g'(x) es distinta de 0 para x perteneciente a (a,b) (x distinto de xº) y f(xº)=g(xº)=0. En esas condiciones si existe el limite cuando x tiende a xº de f'(x)/g'(x) ENTONCES existe limite cuando x tiende a xº de f(x)/g(x) y es igual al anterior. Fuente: "Cálculo diferencial e integral" Autor: Ricardo Noriega Editorial: Cinae - 190.191.229.176 (discusión) 02:31 20 mar 2011 (UTC)

 Sí. Está confuso el enunciado. La hipótesis es que exista el límite del cociente de las derivadas, la tesis es que coincide con el límite del cociente de las funciones originales. Es el eterno problema cuando los artículos no tienen fuentes... No lo corregía aún porque prefiero poner una versión correctamente referenciada. Ah, además el límite se toma en un punto interior del intervalo (no en a, donde no tiene sentido). ggenellina ¿mensajes? 23:06 20 mar 2011 (UTC)  Trasladado desde Wikipedia:Informes de error por Jembot (discusión) 23:14 22 mar 2011 (UTC)

Regla del Sandwitch

• En primer lugar, que yo sepa, la regla del Sandwitch se utiliza más bien para concluir que una función h(x) tiende a c si tanto g(x)>/=h(x) y f(x)</=h(x) tienden ambas a c.
• El empleo de la denominación "Regla del Sandwitch" en la demostración que aparece en este artículo bien podría ser correcta por ser igual de descriptiva, pero en cualquier caso dicha denominación es más bien coloquial.
• Siendo Wikipedia de uso totalmente público y libre puede haber gente a la que dicha denominación le suponga algún tipo de dificultad.

Por esos tres motivos, propongo concluir: "si x tiende a c, y t_x está entre x y c, entonces t_x tiene que tender a c" en lugar de: "cuando x tiende hacia c, por la regla del sandwich, t_x también tiende hacia c" --PabloEsquer (discusión) 10:19 1 dic 2015 (UTC)